Cal IV Practica Sistemas de Ecuaciones 2015 I | Stefanny Eslava

September 11, 2018 | Author: Anonymous | Category: Documents
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Un agente secreto sabe que 60 equipos aéreos, que consisten en aviones de combate y bombarderos, están estacionados en...

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UMC – Cs. Basicas - Ing. Marítima – Calculo IV – 2015 –I - “A” y “D” - Prof(a) Leila D´jesus Ejercicios: Sistemas de Ecuaciones 1. Dado el sistema de ecuaciones

x1 + x2 - x3= 7 4x1 - x2 + 5x3= 4 6x1 + x2 +3 x3= 18 a) Escriba La matriz aumentada asociada al sistema b) Utilice el método de eliminación de Gauss-Jordan para determinar todas las soluciones, si existen del sistema dado. 2. Determine los valores de a, si existen, para que el sistema

x x x

+ y + 2y + y

+ z = 2 + z = 3 + (a2-3)z = a

a) Sea inconsistente b) Tenga infinitas soluciones. Halle la forma de las soluciones para este caso. c) Tenga solución única. Halle la solución para este caso. 3. Determine la consistencia de los siguientes sistemas y determine su solución en caso de que la tenga:

x 2  4 x3  8   a) 2 x1  3 x 2  2 x3  1 5 x  8 x  7 x  1 2 3  1

b)

 x1  7 x 2  3 x3  4  x1  4 x 2  9 x3  0  x 2  x3  3   x  7 x  0 c)   2 3 x3  2   2 x3  0  

 3 x3 2  x1  x1  3 x 2  4 x3  4  3 x  7 x  7 x  8 x2  3x4  3   1 2 3 d)  e)   2 x  3 x  2 x  1  4 x  6 x  x 1 3 4 1 2 3  7   3x1  7 x 4  5  3   1 4. Considere la matriz A   0   1  2

2 0 0  0 0 0 0 0 3b   0 a  2 0 

a) Determine las condiciones que deben cumplir a y b para que A sea invertible. 1 b) Para a=3 y b= , Hallar A-1 y con ella resolver el sistema AX=B donde 3

2   5 B  1   3   5. Determine los valores de a, b, y c, si existen para que el sistema

x 2x 5x

+ 2y + 3y + 9y

+ -

3z = a 3z = b 6z = c

a) Sea inconsistente

b) Sea consistente

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6. Estudie las soluciones del sistema: x + 2y - 3z = 0 2x + 5y + 2z = 0 3x - y - 4z = 0 7. Considere el sistema cuya matriz aumentada es

0 0 0 a1  b  1  b    4 0   0 1 1   1 2 a1  b  0 0 1  2 0 3 0   Encuentre los valores de a y b para que el sistema: a) No tenga solución. b) Tenga infinitas soluciones. única no trivial.

c) Tenga solución única trivial

d) Tenga solución

8. Determine la solución general de:

1 6 2  5  2  4   3  a)  0 0 2  8  1 0 0 0 0 1 7  

 x1  2 x 2  x3  3x 4  0  b)  2 x1  4 x 2  5 x3  5 x 4  3  3x  6 x  6 x  8 x  2 2 3 4  1

b) Clasificar y resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

 x  2 y  2z  t  4  x y  z t  5    x y zt  6 6 x  3 y  3 z  2t  32 c) Estudiar si existe algún valor de m, para el cual el sistema es compatible. Si es así, resolver el sistema para ese valor de m

 x yz 7 2 x  my  4 z  m    x yz 4   x  y  z  3 d) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

 x  y  z 1  2 x  3 y  4 z  9  x  y  z  1  e) Discutir el sistema según los valores del parámetro a:

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 x  y  2t  3  3 x-y  z  t  1   5 x  3 y  2 z  4t  a  2 x  y  z  t  2 f)

Determine el valor de k de tal manera que el sistema tenga infinitas soluciones:

x  y  z 1  x  y  z  0  kx  z  0  g) Determine los valores de h y k para que sea consistente el siguiente sistema:

 2 x1  x 2  h   6 x1  3x 2  k

EJERCICIOS APLICADOS: 1. Una destilera clandestina mezcla alcohol, colorante y licor base para fabricar tres tipos de whisky. El whisky tipo A 5% de colorantes y 40% de alcohol, el whisky tipo B contiene 3% de colorante y 45% de alcohol, mientras que el licor tipo C contiene 4% de colorantes y 47% de alcohol, el resto de las mezclas es cubierto por el porcentaje de licor base. En el proceso de mezclado se pierde 10% de alcohol por evaporación. Actualmente la empresa dispone de 400 litros de alcohol, 415 litros de licor base y de 25 litros de colorante. ¿Cuántos litros de de cada tipo de whisky podrá fabricar la empresa si quiere utilizar toda la existencia? 2. Una empresa de transporte posee tres tipos de camiones, A,B y C. los camiones están equipados para el trasporte de dos clases de máquinas pesadas (clase 1 y clase 2). El tipo A puede transportar dos máquinas clase 1 solamente, el tipo b puede transporta una máquina clase 1 y una máquina clase 2, y el tipo C una máquina clase 1 y dos máquinas clase 2. La empresa consigue una orden para transportar 32 máquinas clase 1 y 10 máquinas clase 2. Formule el sistema de ecuaciones y encuentre el número de camiones de cada tipo que se requieren para cumplir la orden, suponiendo que, cada camión debe estar completamente cargado y el numero de maquinas pedidas es exactamente el que se debe despachar. Si los costos y gastos de cada tipo de camión son los mismos para la firma ¿Cuál es la solución más económica? 3. La demanda de boletos de Cross Country Airlines ha aumentado tanto, que la compañía está analizando la posibilidad de comprar nuevos aviones. Existen tres tipos de aviones en el mercado, la siguiente tabla muestra la cantidad de tiempo requerido de mantenimiento mensual para cada tipo: Avión

Capacidad

Tiempo de mantenimiento (horas por mes)

Tipo 1

350

25

Tipo 2

250

15

Tipo 3

200

15

La compañía requiere que los nuevos transporten un total combinado de 3900 pasajeros y dispone en sus hangares de 250 horas mensuales para su mantenimiento. Solamente existen 15 aviones del tipo 3 disponibles en el mercado. ¿Cuántos aviones de cada tipo debe comprar Cross Country Airlines para utilizar todo el tiempo disponible en sus hangares?

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4. Un viajero recién llegado de Europa, gastó en alojamiento, por día, 30$ en Inglaterra, 20$ en Francia y 20$ en España. En comida por día, gastó 20$ en Inglaterra, 30$ en Francia y 20$ en España. Adicionalmente desembolso 10$ en cada país en gastos varios por día. El registro de nuestro viajero indica que gastó un total de 340$ en alojamiento, 320$ en alimento y 140 $ en gastos varios en su recorrido por estos tres países. Calcule el número de días que pasó en cada país o demuestre que el registro debe estar incorrecto. 3

5. Un comerciante dispone de un espacio de 500m , para almacenar tres tipos de productos no perecederos que importa y dispone de 4590$ para esta operación. Los productos vienen en cajas. Una caja del producto 1 3 3 contiene 10 unidades del producto y ocupa un volumen de 5m . El producto 2 viene en cajas de 10m , cada 3 uno con 3 unidades. Una caja del producto 3 trae 15 unidades y ocupa un volumen de 7m . Los precios por unidad para los productos 1,2 y 3 son respectivamente 10$, 18$ y 16$. Por experiencia pasada el comerciante, sabe que vende dos veces más del producto 3 que del producto 2. ¿Cuál debe ser el pedido del comerciante para gastar los 4590$ disponibles sin exceder su capacidad de almacenamiento? 6. Un agente secreto sabe que 60 equipos aéreos, que consisten en aviones de combate y bombarderos, están estacionados en cierto campo aéreo secreto. El agente quiere determinar cuántos de los 60 equipos son aviones de combate y cuántos son bombarderos. Existe un tipo de cohete que llevan ambos aviones; el de combate lleva seis de ellos y el bombardero sólo dos. El agente averigua que se requieren 250 cohetes para armar todos los aviones del campo aéreo. Aun mas, escucha que se tiene el doble de aviones de combate que bombarderos en la base. Calcule el número de aviones de combate y bombarderos en el campo aéreo o muestre que la información es incorrecta ya que es inconsistente. 7. La tienda local de artículos para jardín almacenó tres marcas de fertilizante de fosfato-potasio-nitrógeno con las composiciones indicadas en la tabla: Marca A

Fosfato 10%

Potasio 30%

Nitrógeno 60%

B

20%

40%

40%

C

20%

30%

50%

Un análisis de suelo muestra que cierto productor necesita fertilizante para su jardín con 19% de fosfato, 34% de potasio y 47% de nitrógeno. ¿Puede obtener la mezcla correcta mezclando las tres marcas? Si es así, ¿Cuántas libras de cada una debe mezclar para obtener 100 libras de la mezcla deseada? 8. La empresa GASOVEN produce gasolina, aceite y gas natural; pero para producir estos productos GASOVEN utiliza a su vez éstos mismos insumos. Suponga que para producir una unidad de gasolina GASOVEN utiliza 0 unidades de gasolina, 1 unidad de aceite y 1 unidad de gas natural. Para producir una unidad de aceite, utiliza 0 de gasolina, 1/5 de unidad de aceite y 2/5 de gas natural. Para una unidad de gas natural, utiliza 1/5 de unidad de gasolina, 2/5 de unidad de aceite y 1/5 de gas natural. También GASOVEN tiene sus clientes externos que compran 100 unidades de gasolina, 100 unidades de aceite y 100 unidades de gas natural. Se desea conocer: a) La matriz insumo-producto de GASOVEN. b) A fin de satisfacer su propio consumo y el de los clientes establezca el sistema de ecuaciones en forma matricial y de allí resuelva para encontrar cuantas unidades de gasolina, de aceite y de gas natural debe producir GASOVEN. 9. Tres ingenieros civil, electricista y mecánico; forman una empresa consultora. La consulta es multidisciplinaria y así cada uno obtiene y paga los servicios de los otros. Por cada 1 BsF de consulta que el ingeniero civil hace, el compra 0,10 BsF del ingeniero electricista y 0,30 BsF del ingeniero mecánico. Por cada 1 BsF de consulta que el ingeniero electricista hace, el compra 0,20 BsF del ingeniero civil y 0,40 BsF del ingeniero mecánico. Por cada 1 BsF de consulta que el ingeniero mecánico hace, el compra 0,30 BsF del ingeniero civil y 0,40 BsF del ingeniero electricista. En una cierta semana el ingeniero civil recibe consultas externas por el orden de los 500 BsF, el ingeniero electricista por 700 BsF y el ingeniero mecánico por 600 BsF, ¿Qué cantidad de BsF en consulta realiza cada ingeniero en esa semana? Guía de Sistema de Ecuaciones Calculo IV 2015-I L. D´Jesus

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10. En un país hay 10 millones de muchachos, los cuales están divididos en tres categorías: los que tienen tres novias, una novia y sin novia. También hay doce millones de muchachas de las cuales α millones no quieren tener novio y las demás solo uno (no saben si lo comparten) a) Plantear las ecuaciones que satisfacen los números de muchachas en cada categoría en función de α. b) Si hay 3,5 millones de muchachos en la primera categoría, hallar el intervalo posible de valores posibles de α. c) Si el gobierno ordena la monogamia, pero respeta la decisión de las mujeres, hallar la cantidad de muchachos en dicha categoría en función de α. d) Si se prohíbe la soltería calcular el número de polígamos.

11. Según las cotizaciones actuales de la bolsa de valores, diez acciones de la compañía A, 10 de la B, 10 de la C y 20 de la D, equivales a 300 BsF; 20 de A, 10 de B, 5 de C y 15 de D tienen un valor de 315 BsF, mientras que 10 de A, 20 de B y 10 de c corresponden a BsF 350. Calcule el precio de cada tipo de acción.

12. Una empresa vendió tres productos A,B y C. si vende todo el producto A a 50 $, el producto B a 16$ y el producto C a 42$ recauda la cantidad de 9414 $. En cambio si lo vende a 45, 18 y 40 $ respectivamente recauda 9064$. El empresario sabe que la suma de los productos A y B es la misma cantidad que el producto C. ¿Qué cantidad de producto A,B y C tiene el empresario? 13. Una empresa metalúrgica produce tres tipos de rollos para cintas transportadoras: de 20cm, 25cm y 30cm de largo y 10cm de diámetro. Los rolos se preparan por lotes. Para fabricar rolos de 20cm se necesitan 5 minutos de corte, 20 minutos de torneado y 10 minutos de armado. Para fabricar rolos de 25cm se necesitan 6 minutos de corte, 20 minutos de torneado y 12 minutos de armado y para fabricar rolos de 30cm se necesitan 7 minutos de corte, 22 minutos de torneado y 12 minutos de armado. ¿Cuántos rolos de cada tipo se pueden fabricar si se trabajan 17 horas de corte, 54 horas de torneado y 30 horas de armado? 14. El dueño de un Bar ha comprado refrescos, cerveza y vino por un importe de 500€ (sin impuestos) el valor del vino es de 60 € menos que el de los refrescos y cervezas conjuntamente. Teniendo en cuenta que los refrescos deben pagar un IVA del 6%, por la cerveza 12% y por el vino 30%, lo que hace que la factura total con los impuestos de de 592,4 €, calcular la cantidad invertida en cada tipo de bebida. 15. Una empresa tiene tres minas con menas de composiciones:

Mina A Mina B Mina C

Niquel (%) 1 2 1

Cobre(%) 2 5 3

Hierro (%) 3 7 1

¿Cuántas toneladas de cada mina deben utilizarse para obtener 7 toneladas de Níquel, 18 de Cobre y 16 de Hierro? 16. La suma de las edades de un padre y sus dos hijos es ahora de 96 años. Cuando el hijo mayor tenia la edad que hoy tiene el menor, este tenía 2/3 de la edad del mayor y cuando el pequeño tenga la edad del mayor la suma de las edades será de 114 anos. ¿Qué edad tiene ahora cada uno? 17. La edad de un padre es el doble de la suma de las edades de sus dos hijos, mientras que hace unos años (exactamente la diferencia de las edades actuales de sus dos hijos), la edad del padre era el triple de la suma de las edades de sus dos hijos. Cuando pasen tantos años como la suma de las edades actuales de los hijos, la suma de las edades de las tres personas será de 150 años. ¿Qué edad tenía el padre en el momento de nacer sus hijos? 18. Se venden tres especies de cereales: trigo, cebada y mijo. Cada volumen de trigo se vende por 4€, el de cebada por 2€ y de mijo por 0,5 €. Si se vende 100 volúmenes en total y se obtiene de la venta 100€. ¿Cuántos volúmenes de cada tipo se venden? Guía de Sistema de Ecuaciones Calculo IV 2015-I L. D´Jesus

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19. Se tienen 3 lingotes compuestos del siguiente modo:  El primero de 20g de oro, 30g de plata y 40g de cobre.  El segundo de 30g de oro, 40g de plata y 50g de cobre.  El tercero de 40g de oro, 50g de plata y 90g de cobre Se pide que peso habrá de tomarse de cada uno de los lingotes anteriores para formar un nuevo lingote de 34g de oro, 46g de plata y 67g de cobre. 20. Se venden 3 calidades de aceite en envases de un litro cada uno. La calidad A tiene un costo de 20 $ el litro, La calidad B tiene un costo de 15 $ el litro y la calidad C tiene un costo de 5 $ el litro. Se venden 200 envases de un litro y se recaudan 2750$. ¿Cuántos envases de cada uno se vendieron si se vendieron por paquetes de 10 unidades? 21. Este semestre ingresaron en la UMC 210 alumnos para las carreras de Ingeniería, para estudiar Ing. Marítima, Ing. Ambiental e Ing. Informática. En informática ingresaron 14 alumnos menos que en la de Marítima, además estos estudiantes superan en un 25% a los de Ambiental ¿Cuántos alumnos ingresaron en cada carrera? 22. Una Compañía de transportes tiene tres camiones diferentes P,Q y R; en los que caben exactamente un cierto tipo de contenedores del tipo A, B y C de acuerdo con la siguiente tabla: P

Q

R

A

5

2

4

B

3

5

3

C

4

5

6

Si se han de transportar 45 contenedores del tipo A, 44 del tipo B y 58 del tipo C. ¿Cuántos viajes ha de hacer cada camión, si todos los viajes los hacen totalmente llenos?

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